问题详情:
如图,抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣1,0),B(0,﹣2),并与x轴交于点C,点M是抛物线对称轴l上任意一点(点M,B,C三点不在同一直线上).
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)在抛物线上找出两点P1,P2,使得△MP1P2与△MCB全等,并求出点P1,P2的坐标;
(3)在对称轴上是否存在点Q,使得∠BQC为直角,若存在,作出点Q(用尺规作图,保留作图痕迹),并求出点Q的坐标.
【回答】
解:(1)把A(﹣1,0),B(0,﹣2)代入抛物线y=x2+bx+c中得:
,
解得:,
∴抛物线所表示的二次函数的表达式为:y=x2﹣x﹣2;
(2)如图1,P1与A重合,P2与B关于l对称,
∴MB=P2M,P1M=CM,P1P2=BC,
∴△P1MP2≌△CMB,
∵y=x2﹣x﹣2=(x﹣)2﹣,
此时P1(﹣1,0),
∵B(0,﹣2),对称轴:直线x=,
∴P2(1,﹣2);
如图2,MP2∥BC,且MP2=BC,
此时,P1与C重合,
∵MP2=BC,MC=MC,∠P2MC=∠BP1M,
∴△BMC≌△P2P1M,
∴P1(2,0),
由点B向右平移个单位到M,可知:点C向右平移个单位到P2,
当x=时,y=(﹣)2﹣=,
∴P2(,);
如图3,构建▱MP1P2C,可得△P1MP2≌△CBM,此时P2与B重合,
由点C向左平移2个单位到B,可知:点M向左平移2个单位到P1,
∴点P1的横坐标为﹣,
当x=﹣时,y=(﹣﹣)2﹣=4﹣=,
∴P1(﹣,),P2(0,﹣2);
(3)如图3,存在,
作法:以BC为直径作圆交对称轴l于两点Q1、Q2,
则∠BQ1C=∠BQ2C=90°;
过Q1作DE⊥y轴于D,过C作CE⊥DE于E,
设Q1(,y)(y>0),
易得△BDQ1∽△Q1EC,
∴,
∴=,
y2+2y﹣=0,
解得:y1=(舍),y2=,
∴Q1(,),
同理可得:Q2(,);
综上所述,点Q的坐标是:(,)或(,).
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的*质、圆周角定理以及三角形全等的*质和判定,解题的关键是:(1)利用待定系数法求出函数解析式;(2)利用二次函数的对称*解决三角形全等问题;(3)分类讨论.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,利用二次函数的对称*,再结合相似三角形、方程解决问题是关键.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题